НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С    НЕСКОЛЬКИМИ   ОСОБЕННОСТЯМИ
  Дадим определение сначала несобственному интегралу 
  Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] Î [ a , w ) 
Тогда, если   существует:                 
То его величина обозначается   
Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f   на промежутке [ a , w ) 
             Если предел не существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл   расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится 
Если функция   f   неотрицательна   и   непрерывна   на промежутке [ a , b ) ( b может   быть   бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )} 
Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ] 
Если   функция    определена   на интервале   ( a , b )   и неограниченна   в точках   a и b   и   при некотором выборе   точки с   ( a , b )   существуют   несобственные   интегралы   на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c Î ( a , b ) 
При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки   с . Тогда 
                                                                                                                                                                     
         Y 

  

                                      f ( x ) 
  
               0            a k             c                 l   b         X 
  
Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями 
Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение   < a , b >, что на каждом   из< ki , ki +1>, i =1 ¸ n , особой   точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится : 

то 
сходится 
Аналогично, интеграл расходится, значит 

		
расходится 
Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения 
На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями 
   Y 

		

                                                                f ( x ) 
  
        0          a = k 1        k 2……… ki ……. kn -1                               kn = b (+   в данном случае) 

Рассмотрим несколько примеров 
Пример 1. 

  Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл    расходится   при   b 
На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел 
  
    Y 

								

  
  
     1 
               +                            +                            +       b ?             b ?                 X 
     0              p        -         2 p                -                          -      b ?            b ?      ( ) 
Пример 2 
На концах отрезка   [0,2]   подынтегральная   функция определена.   Но   x =1   является особой    точкой 
Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие   интегралы: 
  
Сначала   рассмотрим    
F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )]   не имеет предела   при   b 1   значит исходный   интегралы   расходятся 
Но следует заметить, что прежде чем исследовать   несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную   функцию, найти ее особые точки   и   построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке   [0,2]   выглядит   примерно   так 
  
          Y 

  
  
           1 

		
  
           0           1          2                     X 

  

Пример 3 
  
Интеграл   сходится   -   его   значение   стремится   к   -4 
Предел:   
  
  Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 
  
    1)Формула Ньютона-Лейбница 
Пусть функция f непрерывна на [ a , b ), и F - первообразная f .Тогда 

  
Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x ) 
  
2)Линейность несобственного интеграла 
  
Если несобственные интегралы 
  
Сходятся,то для любых чисел   m , n сходятся несобственный интеграл 

3)Интегрирование по частям 
  
Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то 
  
Причем,если любые два из выражений 
  
имеют   смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5): 
  
Причем 

4)Замена переменной в несобственном интеграле 
  
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда 
  
При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот: 
Пример 6: 

  
Монотонность несобственного интеграла 
  
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x Î <a,b>,то 

		
Рисунок 6,7: 

      Y                                                                                       Y 
                                                                                                                       g ( x ) 
  
                                      g(x)                                                                           f(x)   
  
       0                                     f(x)                             X                              0           a b                              X 
                                                                                                                 
Следствие: f Î R^<a,b>;|f| Î R^<a,b>; 
  
Рисунок 8: 

  
      Y 

		

                                          | f | 
                         +                  +             +               + 
        0           a                       -                              - 
                                     f 
В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда: 
Пример7: 
f = g =1/ Ö x на промежутке (0,1] 
  
т.е. сходится, а для fg =1/ x 
  
Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1] 
Несобственные интегралы от знакопостоянных функций 
В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1) 
  
и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо   применять следующие методы: 
Признак сравнения 
Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения: 
Пусть функции f(x) и g(x)   неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости 

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости 

		

Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида   

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения 
  
Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b) 
Теперь исследуем на сходимость некоторые функции: 
Пример 8: 
  
Пример 9: 

  
  Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел 
  
Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]: 

Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо   отыскать функцию сравнения в виде: 
  
Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a] 
  
Пример 10 

  
Видно, что интеграл расходится. На интервале [3;5) функция сравнения принимает следующий вид 
  
Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен 
При   x 0 
Ln(1+x)~x 
Sinx~x 
Tgx~x 
Arcsinx,arctgx~x 
Нельзя забывать, что при x 
Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - ) 
При x 0 Arccosx,arcctgx p /2 
Теперь вспомним пример 8.1 
  
Решим с помощью правила Лопиталя: 
Пример 11 
Полученный интеграл расходится 
Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов 
Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):[ a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям: 
а)   при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на [ a ; b ) 

Пример 12 
  
Справедливо: 
Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале [a;b): 
  
a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0 

Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций 
Если интеграл 

сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся, 
И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится 
Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл   от |f(x)| расходится, а от f(x) –сходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает   с   обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле